内积是在向量模长的基础上提出来的概念。‌ 内积（Inner Product）或点积（Dot Product）是一种在数学、物理和工程领域广泛应用的数学概念，它定义在任意的向量空间上，不仅限于实数向量空间，也适用于复数向量空间‌。

内积的基本概念可以追溯到古典的欧几里得几何，它是一个非常古老的数学概念。内积用来计算两个向量之间的夹角、长度和方向。内积的结果是一个实数，表示为标量‌。

先看看向量模长的概念：

在向量模长的基础上定义‌内积的原因是为了描述两个函数或向量之间的关系‌，比如夹角等。函数的内积用于描述两个函数之间的关系，它在‌傅里叶级数中起到了奠基性的作用。‌

‌内积空间定义中的三个性质分别是：对称性、对第二个元素的线性性和正定性。‌这些性质在数学分析和应用中起着至关重要的作用。

首先，‌对称性‌保证了内积的计算结果与向量的顺序无关，即A⋅B=B⋅A。这一性质简化了计算过程，增强了内积的灵活性，使得在计算内积时不需要考虑向量的顺序‌1。

其次，‌对第二个元素的线性性‌表明内积运算满足(λA+μB)⋅C=λ(A⋅C)+μ(B⋅C)，其中λ和μ是实数。这一性质允许我们对内积进行扩展，使其适用于更复杂的向量运算，便于进行进一步的数学推导和分析‌。

最后，‌正定性‌要求对于非零向量A，有A⋅A>0，这一性质确保了内积的结果总是非负的，且仅当向量为零向量时结果为0。正定性不仅帮助我们判断向量的长度，还允许我们讨论向量的“正交”和“垂直”等概念，是内积空间中许多重要定理和性质的基础‌。

内积一个最基本的应用就是求出力作的功：

内积是数学中一个重要的概念，它帮助我们理解向量间的关系。通过对内积的深入探索，我们揭示了它的原理和性质，了解了它与向量长度的关系，以及它在不同领域中的应用。

在物理和工程中，内积的应用非常广泛。例如，在‌量子力学中，内积用于描述波函数的重叠积分；在‌信号处理中，内积用于计算信号的相关性；在‌控制理论中，内积用于分析系统稳定性等。

在机器学习中，内积也有着重要的应用。例如，在内积空间中，可以通过内积计算两个向量的相似度；在‌支持向量机中，内积用于计算样本之间的间隔；在‌深度学习中，内积是神经网络计算的基础之一。