内积空间的意义在于它允许我们谈论向量的角度和长度，并且通过内积的定义，可以诱导出向量的范数和正交性。 内积空间是向量空间的一个扩展，通过增加一个额外的结构——内积，使得我们可以分析向量的性质，如长度和夹角，这在欧几里得空间中是非常直观的概念。内积空间的概念源自泛函分析，并且具有广泛的应用。
图1
从上面实数域上内积的规定可以看出，所谓内积，其实就是两个向量相对应的分量相乘再相加得出的一个数字。
因为是简单的数字相乘，当然满足图1中的四个条件，因此是一个内积空间。
将实数扩展到复数的乘法，所以还是内积空间。
两个实数函数的内积是一种积分，但实质上还是两个实数相乘再相加，其实就是
f(x0)g(x0)+f(x1)g(x1)+f(x2)g(x2)+f(x3)g(x3)+........+f(xn)g(xn),
只是x0,x1,x2,......xn必须处于[a,b]之间。
明白了这一点，其实不用证明我们也知道这是一个内积空间。
以下是通过积分理论给出的证明：
