3. 增函数和减函数
函数y=x³的图象是从左到右逐渐上升的，我们把具有这种特征的函数，叫做增函数。同样，我们把图象从左到右逐步下降的函数，叫做减函数。例如函数y=-x就是一个减函数。
函数y=x²的图象在整个定义域里不是增函数也不是减函数。但如把定义域(-∞，+∞)分成(-∞，0)和[0,+∞)两部分，那么可以看到，在区间-∞<x<0里,图象是从左到右逐渐下降的。我们说在这个区间里函数y=x²是减函数；在区间0≤x<+∞里，图象是从左到右逐渐上升的，我们说函数y=x²在这个区间里是增函数。
一般地说，对于函数f(x)，设x₁,x₂是在某一区间上自变量x的任意两个值，而且x₁<x₂，对应的函数值是f(x₁)和f(x₂)，如果恒有
f(x₁)<f(x₂), (1)
那么就说函数f(x)在这个区间上是上升的，函数f(x)叫做这个区间上的增函数；如果恒有
f(x₁)>f(x₂)， (2)
那么就说函数f(x)在这个区间上是下降的，函数f(x)叫做这个区间上的减函数。
某一区间上的增函数和减函数，统称为这个区间上的单调函数，而这个区间就叫做函数的单调性区间。
注 当然上面所说的区间，也可能就是函数f(x)的整个定义域，这时我们就说函数f(x)在整个定义域上是增函数或者减函数。
例3 证明：函数f(x)=x²在区间-∞<x<0上是减函数。
分析 要证明函数f(x)=x²在区间-∞<x<0上是减函数，只要在这个区间上任意取自变量的两个值x₁和x₂, 并且x₁<x₂<0，然后来证明f(x₁)-f(x₂)>0就可以了。
【证明】设x₁和x₂是在区间-∞<x<0上自变量x的两个值，且x₁<x₂<0，那么
f(x₁)-f(x₂)=x₁²-x₂²=(x₁-x₂)(x₁+x₂).
∵ x₁<x₂, ∴ x₁-x₂<0.
又∵x₁和x₂都是负数，∴x₁+x₂<0.
∴(x₁-x₂)(x₁+x₂)>0，
就是 f(x₁)-f(x₂)>0.
∴ f(x₁)>f(x₂).
这就是说，函数f(x)在区间-∞<x<0上是减函数.
*例4 证明：函数f(x)=x³在整个定义域上是增函数。
分析 只要取自变量的任意两个值x₁和x₂, 并且x₁<x₂，证明f(x₁)-f(x₂)<0。
【证明】设x₁和x₂(x₁<x₂)是函数f(x)的定义域里自变量x的任意两个值，那么
f(x₁)-f(x₂)=x₁³-x₂³=(x₁-x₂)(x₁²+x₁x₂+x₂²). (1)
∵x₁<x₂，∴x₁-x₂<0. (2)
又
x₁²+x₁x₂+x₂²=(x₁+½x₂)²+
(3/4)x₂²>0 (3)
(因为x₁<x₂，x₁和x₂不能同时为0).
∴(x₁-x₂)(x₁²+x₁x₂+x₂²)<0，
就是 f(x₁)-f(x₂)<0.
∴ f(x₁)<f(x₂).
这就是说，函数f(x)在整个定义域上是增函数。
说明 (3)式的证明，可以这样想：为了要证明f(x)是增函数，就需要证明
(x₁-x₂)(x₁²+x₁x₂+x₂²)<0.而在(2)中已证出了x₁-x₂<0，现在就只需要证明x₁²+x₁x₂+x₂²>0.因为这里不能肯定x₁和x₂究竟是正数、负数还是0，所以要证明这个不等式永远成立，就要把x₁²+x₁x₂+x₂²化成两个式子的平方和的形式。
在把x₁²+x₁x₂+x₂²化成
(x₁+½x₂)²+(3/4)x₂²之后，要说明它的值总大于0，可以这样想：如果这个式子的值是0，那么必须x₁+½x₂=0和(3/4)x₂²=0,
由此就要有x₁=0，x₂=0；但是x₁<x₂，所以这是不可能的。
习题 5.2(3)1. (1)证明：当0<x₁<x₂的时候，x₁⁴-x₂⁴<0；
(2) 证明：函数y=x⁴在区间0<x<+∞上是增函数；
(3)函数y=x⁴在区间-∞<x<0上是增函数还是减函数？
*2. (1)确定函数y=1/x³的定义域；
(2)讨论函数的奇偶性；
(3)讨论函数的增减性.
拓展阅读函数的增减性
如果函数f(x)在定义域或定义域的子区间(a,b)内，随自变量x的增加而增加，即在定义域或子区间(a,b)内对任意的x₁和x₂，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)，则称函数f(x)在这个范围内是增函数。
注 区间的一部分叫做该区间的子区间。
例如函数y=2ˣ在整个定义域内为增函数(如下图所示)。函数y=x²在定义域(-∞,+∞)的子区间(0,+∞)内为增函数。
如果函数f(x)在定义域或定义域的子区间(a,b)内，随自变量x的增加而减少，即在定义域或子区间(a,b)内对任意的x₁和x₂，当x₁<x₂时，有f(x₁)>f(x₂)，则称函数f(x)在这个范围内是减函数。
例如函数
在整个定义域内为减函数。如下图所示。
又如，函数y=cosx在定义域(-∞,+∞)的子区间[0,π]上为减函数。如下图所示。
例一 求证：函数y=x²在(0,+∞)内为增函数。
证明：在区间(0,+∞)内任取两点x₁和x₂，不妨设x₁<x₂，则有
f(x₂)-f(x₁)=x₂²-x₁²=(x₂-x₁)(x₁+x₂).
∵ x₁<x₂, 且x₁、x₂∈(0,+∞).
则 x₂-x₁>0，且x₁+x₂>0.于是
f(x₂)-f(x₁)=x₂²-x₁²>0.
则当x₁<x₂时，有f(x₂)>f(x₁).
∴函数f(x)=x²在区间(0,+∞)内为增函数。
例二 求证：函数
为减函数。
证明：在函数
的定义域(0,+∞)内任取两点x₁和x₂，不妨设x₁<x₂，则
于是
即 f(x₂)-f(x₁)<0，或f(x₂)<f(x₁).
∴ 函数
为减函数。
函数的增减性也可以称为单调性，是函数的一个重要性质。在研究函数的增减性时，重要的是求出函数的增减范围，并针对这个去谈函数的增减性。只有当函数在整个定义域上都是增函数或者减函数时，才能一般地说这个函数是增函数或者减函数。
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名师彻底讲透初等函数(27)番外篇：怎样判定函数的增减性
本文介绍几种判定函数增减性的方法。
一、利用增函数和减函数的定义来判定一些简单函数的增减性......
图片由AI生成
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
