比如，假设二维向量空间的基(1,0)和(0,1)，对偶空间的线性函数φ1(1,0)=2，φ1(0,1)=3和
φ2(1,0)=4，φ2(0,1)=5，以φ1和φ2为基，即函数2x+3y和4x+5y为基构成的空间就是对偶空间:
这里的对偶理论是指，对于向量x=x1α1+x2α2+x3α3+.......，既可以看作是以α1,α2,α3......为基的向量，也可以看作是以x1,x2,x3为基的向量，前提是α1,α2,α3也是线性函数。
这里v是切空间的向量，而dxi是余切空间的向量，dxi(v)可以理解为将向量v在余切空间中线性展开，v(xi)则是将余切向量dx1,dx2,dx3,.....在切空间中展开。
这是因为φ(x1,x2,x3,.....)求导以后得到的微分dx1,dx2,dx3,......满足线性运算的要求，所以得到了余切向量的结论。
对比切空间向量的展开，切向量是向量，是以偏导数为坐标；而余切空间是由对偶空间的函数组成，是以函数为基向量，所以余切空间是按照函数的全微分进行展开。
