为了理解无穷小量是多么富有启发性，我们不妨从非常具体的例子入手。思考一下这个算术问题：2的立方（2×2×2）是多少？答案当然是8。那么，2.001×2.001×2.001是多少？其结果肯定略大于8,但到底大多少呢？

在这里，我们要寻找的是一种思维方式，而不是一个数值解。一般性的问题是，当我们改变一个问题的输入（在这个例子中，就是把2变为2.001）时，输出会改变多少呢？（在这里，答案从8变为8加上某个我们要了解其结构的东西）。

既然很难忍住不偷看，那么干脆看看计算器会告诉我们什么吧。输入2.001，然后按下 x³ 键，得到：

(2.001)³=8.012006001

我们需要注意的结构是这个数的小数部分，它实际上是由3个大小完全不同的部分组成的：

0.012006001=0.012+0.000006+0.000000001

我们可以把它想象成"小"的部分加上"超小"的部分再加上"超超小"的部分，并运用代数方法来理解这个结构。假设一个量 x （在这个例子中是2）略微变化为 x +△x （在这个例子中是2.001)。符号 △x 表示 x 的差分，指 x 的微小变化量（在这个例子中△ x =0.001)。当我们问（2.001)³是多少时，我们实际上问的是( x +△ x )³等于多少。经过乘法运算（或者运用杨辉三角形和二项式定理），我们发现：

( x +△x )³=x³+3x²△x +3x(△ x )²+(△x )³

把 x =2代入后，这个方程变为：

(2+△x )³=2³+3(2)²(△x)+3(2)(△x)²+(△x)³

=8+12△x +6(△x)²+(△x)³

现在我们就能明白，为什么除了8以外的数位是由3个大小不同的部分组成的。小但却占据主导地位的部分是12△x =12×0.001=0.012,而6(△x )²和（△x )³则分别对应超小部分0.000006和超超小部分0.000000001。某个部分中△ x 的指数越大，其数值就越小。每多乘以一次微小的因子 △x ，都会让一个小的部分变得更小，这就是各个部分大小不同的原因。

这个例子虽然不起眼，却恰恰展示出微积分背后的核心观点。在很多关于原因与结果、剂量与反应、输入与输出，或者其他类型的自变量 x 和因变量 y 之间关系的问题中，输入的一个小的变化量（△x）都会使输出产生一个小的变化量（△y)。这个小变化量通常是以我们可利用的结构化方式组织起来的，也就是说，输出的变化量包含不同层级的部分。按照大小，它们可以被分级成小的、超小的甚至更小的部分。这种分级方式会让我们专注于小但却占据主导地位的变化量，而忽略超小甚至更小的其他变化量。虽然这个变化量很小，但和其他变化量相比却是巨大的（比如，与0.000006和0.00000001相比，0.012是巨大的）。这就是微积分背后的核心观点。

除了对正确答案贡献最大的那一部分，其他部分全部忽略不计，这种思维方式似乎只能得到近似的结果。如果输入的变化量是有限的（就像我们在前文中给2加上的0.001)，那么事实的确如此。但如果输入的变化量是无穷小的，这种思维方式反而会使结果变得精确；我们不会犯丝毫的差错，因为最大的那个部分变成了全部。而且，正如我们在本书里看到的那样，无穷小的变化量恰恰是我们理解斜率、瞬时速度和曲线下方面积所需要的东西。

为了理解这种思维方式的实际效果，让我们回到前文的例子中，计算一个略大于2的数的立方。只不过我们现在要把2变为2+ dx ，其中 dx 表示无穷小的差分△x ，这个概念本质上没什么意义，所以不用想太多，关键是学会如何利用它使微积分运算变得轻而易举。

特别是前文中将（2+△x)³展开为8+12△x +6(△x)²+(△x)³的计算过程，现在我们可以把它缩减得更简单：

(2+dx)³=8+12dx

那么，像6(dx)²+(dx)³这样的其他项去哪里了？答案是：我们舍弃了它们。作为超小和超超小的无穷小量，它们与12dx相比是完全微不足道的，因此可以忽略不计。但是，我们为什么要保留12dx呢，它和8相比不也是微不足道的吗？尽管事实的确如此，但如果我们把它也舍弃了，就无法考虑任何变化量了，答案将一直是8。所以秘诀在于，想要研究无穷小的变化量，就必须保留涉及 dx 的一次方的项，而忽略其他项。

对于这种利用 dx 之类的无穷小量的思维方式，我们可以从极限的角度重新加以表述，使其变得十分合理和严密，这就是现代教科书的处理方式。但是，使用无穷小量的方法更简单也更快，在这种背景下，它们对应的术语是微分。之所以取这样的名字，是因为我们把它们看作△x 和△y 的差，这些差趋于极限值0。就像我们在显微镜下观察抛物线时看到的那样，随着放大倍数的增加，曲线变得越来越直。

文章来源：《微积分的力量》，作者是美国数学家史蒂夫·斯托加茨。