拓扑空间与欧氏空间最大的区别主要体现在结构定义和性质特点这两方面：
结构定义：拓扑空间：是一种非常抽象的数学结构，它仅通过拓扑性质来描述元素的相对位置，不依赖于具体的距离或度量。只要给定一个集合以及满足特定公理的子集族（即拓扑），就可以确定一个拓扑空间。其开集和闭集通过集合的子集来确定 ，对元素间的运算没有要求。欧氏空间：是特殊的向量空间，基于实数域构建，有明确的线性运算（加法和数乘）。不仅定义了元素之间的距离（基于内积运算诱导出距离概念，满足距离的对称性、三角不等式和非负性等性质），还具有直观的几何结构，遵循欧几里得几何的五条基本公理，如从一点向另一点可以引一条直线、任意线段能无限延伸成一条直线等。性质特点：拓扑空间：更关注空间的整体性质和元素间的拓扑关系，如连续性、连通性、紧致性等，这些性质基于空间的拓扑结构定义。它具有很强的抽象性和一般性、灵活性，可以在不同的度量下定义相同的拓扑，能适应各种不同领域的研究。欧氏空间：具有精确性和具体性，元素之间的位置关系、距离和角度等都可以精确量化和计算。空间性质相对直观，符合人们对现实几何空间的一般认知，通常是平坦的，但在非欧几何等拓展研究中也会探讨空间的弯曲等情况。以下是一个是拓扑空间但不是欧氏空间的例子：
它不是欧氏空间，原因如下：
缺乏线性结构：欧氏空间是一种特殊的向量空间，有明确的加法和数乘运算。但在这个离散拓扑空间中，元素a、b、c之间没有自然的加法和数乘定义，不像欧氏空间中向量那样进行线性运算。
不存在标准度量：欧氏空间有基于内积诱导出的度量（距离），满足诸如三角不等式等性质。而在此离散拓扑空间中，虽然可以人为定义一些距离函数，但没有像欧氏空间那样由内积自然导出的标准度量。例如，我们不能用类似欧氏空间中两点间距离公式的方式来衡量元素间的距离。
不满足欧氏几何公理：欧氏空间遵循欧几里得几何的基本公理，如两点确定一条直线等。但在离散拓扑空间中，这些几何概念没有实际意义，不存在类似欧氏空间中的直线、平面等几何对象，也无法用欧氏几何的公理去描述空间性质。
